# Решения задач по теории вероятностей ## Формулы Бернулли, местная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа, формула Пуассона --- ## Задача 3 **Условие:** В среднем каждое второе малое предприятие имеет нарушение финансовой дисциплины. Из **n = 1000** предприятий найти вероятность того, что нарушения имеют: Дано: n = 1000, p = 1/2 = 0,5, q = 0,5 npq = 1000 · 0,5 · 0,5 = 250, √(npq) = √250 ≈ 15,81 --- ### а) Ровно 480 предприятий Используем **местную теорему Муавра–Лапласа**: $$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \varphi(x), \quad x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$$ $$x = \frac{480 - 500}{15{,}81} = \frac{-20}{15{,}81} \approx -1{,}26$$ φ(1,26) = 0,1826 (по таблице функции Гаусса) $$P_{1000}(480) \approx \frac{0{,}1826}{15{,}81} \approx \mathbf{0{,}0116}$$ --- ### б) Наивероятнейшее число предприятий По формуле: **np − q ≤ k₀ ≤ np + p** 499,5 ≤ k₀ ≤ 500,5 → **k₀ = 500** --- ### в) Не менее 480 предприятий Используем **интегральную теорему Муавра–Лапласа**: $$P(k \geq 480) = 0{,}5 + \Phi\!\left(\frac{np - k_1}{\sqrt{npq}}\right)$$ $$= 0{,}5 + \Phi(1{,}26) = 0{,}5 + 0{,}3962 \approx \mathbf{0{,}8962}$$ --- ### г) От 480 до 520 предприятий $$x_1 = \frac{480 - 500}{15{,}81} \approx -1{,}26, \quad x_2 = \frac{520 - 500}{15{,}81} \approx 1{,}26$$ $$P(480 \leq k \leq 520) = \Phi(1{,}26) - \Phi(-1{,}26) = 2\Phi(1{,}26) = 2 \cdot 0{,}3962 \approx \mathbf{0{,}7924}$$ --- ## Задача 4 **Условие:** Вероятность банкротства предприятия за время t равна 0,2. Из **n = 6** предприятий найти вероятность того, что **сохранятся**: Дано: n = 6, p(сохранится) = 1 − 0,2 = **0,8**, q = 0,2 Используем **формулу Бернулли**: P_n(k) = C(n,k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ --- ### а) Два предприятия (k = 2) $$P_6(2) = C_6^2 \cdot (0{,}8)^2 \cdot (0{,}2)^4 = 15 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}0016 = \mathbf{0{,}0154}$$ --- ### б) Более двух предприятий (k > 2) $$P(k > 2) = 1 - P(k \leq 2) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]$$ - P₆(0) = C(6,0) · (0,8)⁰ · (0,2)⁶ = 1 · 1 · 0,000064 = 0,000064 - P₆(1) = C(6,1) · (0,8)¹ · (0,2)⁵ = 6 · 0,8 · 0,00032 = 0,001536 - P₆(2) = 0,0154 (вычислено выше) $$P(k > 2) = 1 - (0{,}000064 + 0{,}001536 + 0{,}0154) \approx 1 - 0{,}0170 = \mathbf{0{,}983}$$ --- ## Задача 5 **Условие:** В банк отправлено **n = 4000** пакетов. Вероятность ошибки в комплектации **p = 0,0001**. Найти вероятность обнаружения: λ = np = 4000 · 0,0001 = **0,4** Используем **формулу Пуассона**: P(k) = (λᵏ / k!) · e⁻λ e⁻⁰·⁴ ≈ 0,6703 --- ### а) Три ошибочно укомплектованных пакета (k = 3) $$P(3) = \frac{(0{,}4)^3}{3!} \cdot e^{-0{,}4} = \frac{0{,}064}{6} \cdot 0{,}6703 \approx \mathbf{0{,}00715}$$ --- ### б) Не более трёх пакетов (k ≤ 3) $$P(k \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)$$ - P(0) = e⁻⁰·⁴ = 0,6703 - P(1) = 0,4 · e⁻⁰·⁴ = 0,2681 - P(2) = (0,4²/2) · e⁻⁰·⁴ = 0,0536 - P(3) = 0,00715 $$P(k \leq 3) = 0{,}6703 + 0{,}2681 + 0{,}0536 + 0{,}00715 \approx \mathbf{0{,}9992}$$ --- --- ## Домашняя работа --- ## Задача 1 (ДЗ) **Условие:** Вероятность попадания в цель р = 0,7. Из **n = 80** выстрелов — найти вероятность различных исходов. Дано: n = 80, p = 0,7, q = 0,3 np = 56, npq = 16,8, √(npq) ≈ 4,10 --- ### а) Ровно 75 попаданий $$x = \frac{75 - 56}{4{,}10} \approx 4{,}63$$ φ(4,63) ≈ 0,00002 (крайне малое значение) $$P_{80}(75) \approx \frac{0{,}00002}{4{,}10} \approx \mathbf{0{,}000005} \approx 0$$ --- ### б) Не менее 75 попаданий $$x_1 = \frac{75 - 56}{4{,}10} \approx 4{,}63$$ $$P(k \geq 75) = 0{,}5 - \Phi(4{,}63) \approx 0{,}5 - 0{,}5 \approx \mathbf{0}$$ --- ### в) Менее 75 попаданий $$P(k < 75) = 1 - P(k \geq 75) \approx \mathbf{1}$$ --- ### г) Не более 75 попаданий $$P(k \leq 75) = P(k < 75) + P(k = 75) \approx 1 + 0 \approx \mathbf{1}$$ --- ### д) Более 75 попаданий $$P(k > 75) \approx \mathbf{0}$$ --- ### е) Все 80 выстрелов $$P_{80}(80) = (0{,}7)^{80} = e^{80 \ln 0{,}7} = e^{-28{,}5} \approx \mathbf{4{,}4 \times 10^{-13}}$$ --- ## Задача 2 (ДЗ) **Условие:** Вероятность выпуска сверла с браком p = 0,02. Сверла укладываются по 100 штук. Найти наименьшее количество добавочных сверл, чтобы с вероятностью **не менее 0,9** в коробке было **не менее 100 исправных**. Пусть в коробке **n** сверл, p(исправное) = 0,98. Нужно: P(X ≥ 100) ≥ 0,9 $$P(X \geq 100) = 0{,}5 + \Phi\!\left(\frac{np - 100}{\sqrt{np \cdot 0{,}02}}\right) \geq 0{,}9$$ $$\Rightarrow \frac{0{,}98n - 100}{0{,}14\sqrt{n}} \geq 1{,}28$$ Подстановка t = √n: 0,98t² − 0,1792t − 100 ≥ 0 $$t = \frac{0{,}1792 + \sqrt{0{,}1792^2 + 4 \cdot 0{,}98 \cdot 100}}{2 \cdot 0{,}98} = \frac{0{,}179 + 19{,}80}{1{,}96} \approx 10{,}19$$ $$n \geq (10{,}19)^2 \approx 103{,}9 \Rightarrow n = 104$$ **Ответ:** нужно добавить **m = 104 − 100 = 4 сверла** --- ## Задача 3 (ДЗ) **Условие:** Сколько изюминок в среднем должна содержать булочка, чтобы вероятность хотя бы одной изюминки была **не менее 0,99**? Используем формулу Пуассона: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − e⁻λ ≥ 0,99 $$e^{-\lambda} \leq 0{,}01 \Rightarrow \lambda \geq -\ln(0{,}01) = \ln 100 \approx 4{,}61$$ **Ответ:** в среднем в булочке должно быть **не менее 5 изюминок** (λ ≥ 4,61) --- --- ## Задача (Картофель) **Условие:** В складе 20% клубней с пятнами. Отобрано **n = 9** клубней. p(без пятен) = 0,8, q = 0,2. --- ### а) Наивероятнейшее число клубней без пятен np − q ≤ k₀ ≤ np + p 9·0,8 − 0,2 ≤ k₀ ≤ 9·0,8 + 0,8 **7,0 ≤ k₀ ≤ 8,0** Так как оба конца — целые числа, оба значения k₀ = 7 и k₀ = 8 являются наивероятнейшими (с одинаковой вероятностью). --- ### б) Вероятность наивероятнейшего числа $$P_9(7) = C_9^7 \cdot (0{,}8)^7 \cdot (0{,}2)^2 = 36 \cdot 0{,}2097 \cdot 0{,}04 \approx \mathbf{0{,}302}$$ $$P_9(8) = C_9^8 \cdot (0{,}8)^8 \cdot (0{,}2)^1 = 9 \cdot 0{,}1678 \cdot 0{,}2 \approx \mathbf{0{,}302}$$ P(7) = P(8) ≈ **0,302** — подтверждает, что оба значения равновероятны --- ## Задача (Событие А, k₀ = 20) **Условие:** Вероятность события А в каждом испытании p = 0,7. Сколько испытаний нужно провести, чтобы **наивероятнейшее число** равнялось **20**? np − q ≤ k₀ ≤ np + p, то есть при k₀ = 20: $$0{,}7n - 0{,}3 \leq 20 \leq 0{,}7n + 0{,}7$$ Из левого неравенства: 0,7n ≤ 20,3 → **n ≤ 29** Из правого неравенства: 0,7n ≥ 19,3 → **n ≥ 27,57 → n ≥ 28** Проверка: - n = 28: np−q = 19,3, np+p = 20,3 → единственное целое k₀ = **20** ✓ - n = 29: np−q = 20,0, np+p = 21,0 → k₀ = 20 или 21 (два наивероятнейших) **Ответ: n = 28** (или n = 29, если допустимо два наивероятнейших значения) --- --- ## Задача 1 (Лотерея) **Условие:** Вероятность выигрыша по одному билету p = 1/7. Имея **n = 7** билетов, найти вероятность выигрыша: Используем **формулу Бернулли** --- ### а) По двум билетам (k = 2) $$P_7(2) = C_7^2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^5 = 21 \cdot \frac{1}{49} \cdot \frac{7776}{16807} = \frac{163296}{823543} \approx \mathbf{0{,}198}$$ --- ### б) По трём билетам (k = 3) $$P_7(3) = C_7^3 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^3 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^4 = 35 \cdot \frac{1}{343} \cdot \frac{1296}{2401} = \frac{45360}{823543} \approx \mathbf{0{,}055}$$ --- ## Задача 2 (Мята, гербициды) **Условие:** Повреждены гербицидами 15% растений мяты. Отобрано **n = 20** растений. p = 0,15, q = 0,85. np − q ≤ k₀ ≤ np + p 3 − 0,85 ≤ k₀ ≤ 3 + 0,15 2,15 ≤ k₀ ≤ 3,15 **k₀ = 3** — наивероятнейшее число повреждённых растений --- ## Задача 3 (Сбербанк) **Условие:** Два филиала. Филиал 1: n₁ = 120, p₁ = 0,94. Филиал 2: n₂ = 140, p₂ = 0,8. Найти наивероятнейшее число клиентов, снявших деньги. **Филиал 1:** np₁ = 112,8; np₁ − q₁ = 112,74; np₁ + p₁ = 113,74 → **k₀₁ = 113** **Филиал 2:** np₂ = 112,0; np₂ − q₂ = 111,8; np₂ + p₂ = 112,8 → **k₀₂ = 112** **Ответ:** Первый филиал обслуживает больше клиентов, снявших деньги: **113 > 112** --- --- ## Задача (Событие А, 400 испытаний) **Условие:** Найти вероятность того, что событие А наступит **ровно 80 раз** в 400 испытаниях, если p = 0,2. Дано: n = 400, k = 80, p = 0,2, q = 0,8 np = 80, npq = 64, √(npq) = 8 $$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{80 - 80}{8} = 0$$ $$\varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989$$ $$P_{400}(80) \approx \frac{\varphi(0)}{\sqrt{npq}} = \frac{0{,}3989}{8} \approx \mathbf{0{,}0499}$$ --- ## Задача (Стрелок) **Условие:** Вероятность поражения мишени p = 0,75. При **n = 10** выстрелах найти вероятность **ровно 8 попаданий**. $$P_{10}(8) = C_{10}^8 \cdot (0{,}75)^8 \cdot (0{,}25)^2$$ $$= 45 \cdot \frac{6561}{65536} \cdot \frac{1}{16} = \frac{295245}{1048576} \approx \mathbf{0{,}2816}$$ --- --- ## Задача (Кинескопы — Интегральная теорема Лапласа) **Условие:** 12% кинескопов не проработают гарантийный срок. Из **n = 50** наугад выбранных — найти вероятность того, что проработают гарантийный срок: Дано: n = 50, p(проработает) = 1 − 0,12 = **0,88**, q = 0,12 np = 44, npq = 50 · 0,88 · 0,12 = 5,28, √(npq) ≈ 2,298 --- ### а) Ровно 47 кинескопов Местная теорема: $$x = \frac{47 - 44}{2{,}298} \approx 1{,}305, \quad \varphi(1{,}305) \approx 0{,}1714$$ $$P_{50}(47) \approx \frac{0{,}1714}{2{,}298} \approx \mathbf{0{,}0745}$$ --- ### б) Не менее 47 кинескопов $$x_1 = \frac{47 - 44}{2{,}298} \approx 1{,}305$$ $$P(k \geq 47) \approx 0{,}5 - \Phi(1{,}305) = 0{,}5 - 0{,}4040 \approx \mathbf{0{,}0960}$$ --- ### в) Менее 47 кинескопов $$P(k < 47) = 1 - P(k \geq 47) \approx 1 - 0{,}0960 = \mathbf{0{,}9040}$$ --- ### г) Более 47 кинескопов $$x = \frac{48 - 44}{2{,}298} \approx 1{,}740$$ $$P(k > 47) = P(k \geq 48) \approx 0{,}5 - \Phi(1{,}74) = 0{,}5 - 0{,}4591 \approx \mathbf{0{,}0409}$$ --- ### д) Не более 47 кинескопов $$P(k \leq 47) = 1 - P(k > 47) \approx 1 - 0{,}0409 = \mathbf{0{,}9591}$$ --- ### е) Все 50 кинескопов $$P_{50}(50) = (0{,}88)^{50} \approx \mathbf{0{,}00167}$$ (Для проверки по местной теореме: x = (50−44)/2,298 ≈ 2,61; φ(2,61) ≈ 0,0136; P ≈ 0,006 — приближение менее точно из-за удалённости от центра) --- --- ## Домашнее задание (Интегральная теорема Лапласа) --- ## Задача 1 (ДЗ — Новорождённые) **Условие:** Среди **n = 1000** новорождённых. Вероятность рождения мальчика p = 0,51. Найти вероятность того, что мальчиков будет: np = 510, npq = 1000 · 0,51 · 0,49 = 249,9, √(npq) ≈ 15,81 --- ### а) Не менее половины (m ≥ 500) $$x_1 = \frac{500 - 510}{15{,}81} \approx -0{,}63, \quad x_2 \to +\infty$$ $$P_{1000}(500 \leq m \leq 1000) \approx \Phi(+\infty) - \Phi(-0{,}63) = 0{,}5 - (-0{,}2357) = \mathbf{0{,}7357}$$ --- ### б) Менее половины (m < 500, то есть m ≤ 499) $$P_{1000}(0 \leq m \leq 499) = 1 - 0{,}7357 = \mathbf{0{,}2643}$$ --- ## Задача 2 (ДЗ — Картофель при уборке) **Условие:** При уборке повреждается в среднем 10% клубней. Из **n = 200** клубней найти вероятность того, что повреждено от 15 до 50 клубней. Дано: n = 200, p = 0,10, q = 0,90 np = 20, npq = 18, √(npq) ≈ 4,243 $$x_1 = \frac{15 - 20}{4{,}243} \approx -1{,}18, \quad x_2 = \frac{50 - 20}{4{,}243} \approx 7{,}07$$ $$P_{200}(15 \leq m \leq 50) \approx \Phi(7{,}07) - \Phi(-1{,}18) \approx 0{,}5 - (-0{,}3810) = 0{,}5 + 0{,}3810 \approx \mathbf{0{,}881}$$