tglock/РЕШЕНИЯ.md

# Решения задач по теории вероятностей
## Формулы Бернулли, местная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа, формула Пуассона

---

## Задача 3

**Условие:** В среднем каждое второе малое предприятие имеет нарушение финансовой дисциплины. Из **n = 1000** предприятий найти вероятность того, что нарушения имеют:

Дано: n = 1000, p = 1/2 = 0,5, q = 0,5
npq = 1000 · 0,5 · 0,5 = 250, √(npq) = √250 ≈ 15,81

---

### а) Ровно 480 предприятий

Используем **местную теорему Муавра–Лапласа**:

$$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \varphi(x), \quad x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$$

$$x = \frac{480 - 500}{15{,}81} = \frac{-20}{15{,}81} \approx -1{,}26$$

φ(1,26) = 0,1826 (по таблице функции Гаусса)

$$P_{1000}(480) \approx \frac{0{,}1826}{15{,}81} \approx \mathbf{0{,}0116}$$

---

### б) Наивероятнейшее число предприятий

По формуле: **np − q ≤ k₀ ≤ np + p**

499,5 ≤ k₀ ≤ 500,5 → **k₀ = 500**

---

### в) Не менее 480 предприятий

Используем **интегральную теорему Муавра–Лапласа**:

$$P(k \geq 480) = 0{,}5 + \Phi\!\left(\frac{np - k_1}{\sqrt{npq}}\right)$$

$$= 0{,}5 + \Phi(1{,}26) = 0{,}5 + 0{,}3962 \approx \mathbf{0{,}8962}$$

---

### г) От 480 до 520 предприятий

$$x_1 = \frac{480 - 500}{15{,}81} \approx -1{,}26, \quad x_2 = \frac{520 - 500}{15{,}81} \approx 1{,}26$$

$$P(480 \leq k \leq 520) = \Phi(1{,}26) - \Phi(-1{,}26) = 2\Phi(1{,}26) = 2 \cdot 0{,}3962 \approx \mathbf{0{,}7924}$$

---

## Задача 4

**Условие:** Вероятность банкротства предприятия за время t равна 0,2. Из **n = 6** предприятий найти вероятность того, что **сохранятся**:

Дано: n = 6, p(сохранится) = 1 − 0,2 = **0,8**, q = 0,2

Используем **формулу Бернулли**: P_n(k) = C(n,k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ

---

### а) Два предприятия (k = 2)

$$P_6(2) = C_6^2 \cdot (0{,}8)^2 \cdot (0{,}2)^4 = 15 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}0016 = \mathbf{0{,}0154}$$

---

### б) Более двух предприятий (k > 2)

$$P(k > 2) = 1 - P(k \leq 2) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]$$

- P₆(0) = C(6,0) · (0,8)⁰ · (0,2)⁶ = 1 · 1 · 0,000064 = 0,000064
- P₆(1) = C(6,1) · (0,8)¹ · (0,2)⁵ = 6 · 0,8 · 0,00032 = 0,001536
- P₆(2) = 0,0154 (вычислено выше)

$$P(k > 2) = 1 - (0{,}000064 + 0{,}001536 + 0{,}0154) \approx 1 - 0{,}0170 = \mathbf{0{,}983}$$

---

## Задача 5

**Условие:** В банк отправлено **n = 4000** пакетов. Вероятность ошибки в комплектации **p = 0,0001**. Найти вероятность обнаружения:

λ = np = 4000 · 0,0001 = **0,4**

Используем **формулу Пуассона**: P(k) = (λᵏ / k!) · e⁻λ

e⁻⁰·⁴ ≈ 0,6703

---

### а) Три ошибочно укомплектованных пакета (k = 3)

$$P(3) = \frac{(0{,}4)^3}{3!} \cdot e^{-0{,}4} = \frac{0{,}064}{6} \cdot 0{,}6703 \approx \mathbf{0{,}00715}$$

---

### б) Не более трёх пакетов (k ≤ 3)

$$P(k \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)$$

- P(0) = e⁻⁰·⁴ = 0,6703
- P(1) = 0,4 · e⁻⁰·⁴ = 0,2681
- P(2) = (0,4²/2) · e⁻⁰·⁴ = 0,0536
- P(3) = 0,00715

$$P(k \leq 3) = 0{,}6703 + 0{,}2681 + 0{,}0536 + 0{,}00715 \approx \mathbf{0{,}9992}$$

---

---

## Домашняя работа

---

## Задача 1 (ДЗ)

**Условие:** Вероятность попадания в цель р = 0,7. Из **n = 80** выстрелов — найти вероятность различных исходов.

Дано: n = 80, p = 0,7, q = 0,3
np = 56, npq = 16,8, √(npq) ≈ 4,10

---

### а) Ровно 75 попаданий

$$x = \frac{75 - 56}{4{,}10} \approx 4{,}63$$

φ(4,63) ≈ 0,00002 (крайне малое значение)

$$P_{80}(75) \approx \frac{0{,}00002}{4{,}10} \approx \mathbf{0{,}000005} \approx 0$$

---

### б) Не менее 75 попаданий

$$x_1 = \frac{75 - 56}{4{,}10} \approx 4{,}63$$

$$P(k \geq 75) = 0{,}5 - \Phi(4{,}63) \approx 0{,}5 - 0{,}5 \approx \mathbf{0}$$

---

### в) Менее 75 попаданий

$$P(k < 75) = 1 - P(k \geq 75) \approx \mathbf{1}$$

---

### г) Не более 75 попаданий

$$P(k \leq 75) = P(k < 75) + P(k = 75) \approx 1 + 0 \approx \mathbf{1}$$

---

### д) Более 75 попаданий

$$P(k > 75) \approx \mathbf{0}$$

---

### е) Все 80 выстрелов

$$P_{80}(80) = (0{,}7)^{80} = e^{80 \ln 0{,}7} = e^{-28{,}5} \approx \mathbf{4{,}4 \times 10^{-13}}$$

---

## Задача 2 (ДЗ)

**Условие:** Вероятность выпуска сверла с браком p = 0,02. Сверла укладываются по 100 штук. Найти наименьшее количество добавочных сверл, чтобы с вероятностью **не менее 0,9** в коробке было **не менее 100 исправных**.

Пусть в коробке **n** сверл, p(исправное) = 0,98. Нужно: P(X ≥ 100) ≥ 0,9

$$P(X \geq 100) = 0{,}5 + \Phi\!\left(\frac{np - 100}{\sqrt{np \cdot 0{,}02}}\right) \geq 0{,}9$$

$$\Rightarrow \frac{0{,}98n - 100}{0{,}14\sqrt{n}} \geq 1{,}28$$

Подстановка t = √n: 0,98t² − 0,1792t − 100 ≥ 0

$$t = \frac{0{,}1792 + \sqrt{0{,}1792^2 + 4 \cdot 0{,}98 \cdot 100}}{2 \cdot 0{,}98} = \frac{0{,}179 + 19{,}80}{1{,}96} \approx 10{,}19$$

$$n \geq (10{,}19)^2 \approx 103{,}9 \Rightarrow n = 104$$

**Ответ:** нужно добавить **m = 104 − 100 = 4 сверла**

---

## Задача 3 (ДЗ)

**Условие:** Сколько изюминок в среднем должна содержать булочка, чтобы вероятность хотя бы одной изюминки была **не менее 0,99**?

Используем формулу Пуассона: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − e⁻λ ≥ 0,99

$$e^{-\lambda} \leq 0{,}01 \Rightarrow \lambda \geq -\ln(0{,}01) = \ln 100 \approx 4{,}61$$

**Ответ:** в среднем в булочке должно быть **не менее 5 изюминок** (λ ≥ 4,61)

---

---

## Задача (Картофель)

**Условие:** В складе 20% клубней с пятнами. Отобрано **n = 9** клубней. p(без пятен) = 0,8, q = 0,2.

---

### а) Наивероятнейшее число клубней без пятен

np − q ≤ k₀ ≤ np + p
9·0,8 − 0,2 ≤ k₀ ≤ 9·0,8 + 0,8
**7,0 ≤ k₀ ≤ 8,0**

Так как оба конца — целые числа, оба значения k₀ = 7 и k₀ = 8 являются наивероятнейшими (с одинаковой вероятностью).

---

### б) Вероятность наивероятнейшего числа

$$P_9(7) = C_9^7 \cdot (0{,}8)^7 \cdot (0{,}2)^2 = 36 \cdot 0{,}2097 \cdot 0{,}04 \approx \mathbf{0{,}302}$$

$$P_9(8) = C_9^8 \cdot (0{,}8)^8 \cdot (0{,}2)^1 = 9 \cdot 0{,}1678 \cdot 0{,}2 \approx \mathbf{0{,}302}$$

P(7) = P(8) ≈ **0,302** — подтверждает, что оба значения равновероятны

---

## Задача (Событие А, k₀ = 20)

**Условие:** Вероятность события А в каждом испытании p = 0,7. Сколько испытаний нужно провести, чтобы **наивероятнейшее число** равнялось **20**?

np − q ≤ k₀ ≤ np + p, то есть при k₀ = 20:

$$0{,}7n - 0{,}3 \leq 20 \leq 0{,}7n + 0{,}7$$

Из левого неравенства: 0,7n ≤ 20,3 → **n ≤ 29**

Из правого неравенства: 0,7n ≥ 19,3 → **n ≥ 27,57 → n ≥ 28**

Проверка:
- n = 28: np−q = 19,3, np+p = 20,3 → единственное целое k₀ = **20** ✓
- n = 29: np−q = 20,0, np+p = 21,0 → k₀ = 20 или 21 (два наивероятнейших)

**Ответ: n = 28** (или n = 29, если допустимо два наивероятнейших значения)

---

---

## Задача 1 (Лотерея)

**Условие:** Вероятность выигрыша по одному билету p = 1/7. Имея **n = 7** билетов, найти вероятность выигрыша:

Используем **формулу Бернулли**

---

### а) По двум билетам (k = 2)

$$P_7(2) = C_7^2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^5 = 21 \cdot \frac{1}{49} \cdot \frac{7776}{16807} = \frac{163296}{823543} \approx \mathbf{0{,}198}$$

---

### б) По трём билетам (k = 3)

$$P_7(3) = C_7^3 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^3 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^4 = 35 \cdot \frac{1}{343} \cdot \frac{1296}{2401} = \frac{45360}{823543} \approx \mathbf{0{,}055}$$

---

## Задача 2 (Мята, гербициды)

**Условие:** Повреждены гербицидами 15% растений мяты. Отобрано **n = 20** растений. p = 0,15, q = 0,85.

np − q ≤ k₀ ≤ np + p
3 − 0,85 ≤ k₀ ≤ 3 + 0,15
2,15 ≤ k₀ ≤ 3,15

**k₀ = 3** — наивероятнейшее число повреждённых растений

---

## Задача 3 (Сбербанк)

**Условие:** Два филиала. Филиал 1: n₁ = 120, p₁ = 0,94. Филиал 2: n₂ = 140, p₂ = 0,8. Найти наивероятнейшее число клиентов, снявших деньги.

**Филиал 1:** np₁ = 112,8; np₁ − q₁ = 112,74; np₁ + p₁ = 113,74 → **k₀₁ = 113**

**Филиал 2:** np₂ = 112,0; np₂ − q₂ = 111,8; np₂ + p₂ = 112,8 → **k₀₂ = 112**

**Ответ:** Первый филиал обслуживает больше клиентов, снявших деньги: **113 > 112**

---

---

## Задача (Событие А, 400 испытаний)

**Условие:** Найти вероятность того, что событие А наступит **ровно 80 раз** в 400 испытаниях, если p = 0,2.

Дано: n = 400, k = 80, p = 0,2, q = 0,8
np = 80, npq = 64, √(npq) = 8

$$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{80 - 80}{8} = 0$$

$$\varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989$$

$$P_{400}(80) \approx \frac{\varphi(0)}{\sqrt{npq}} = \frac{0{,}3989}{8} \approx \mathbf{0{,}0499}$$

---

## Задача (Стрелок)

**Условие:** Вероятность поражения мишени p = 0,75. При **n = 10** выстрелах найти вероятность **ровно 8 попаданий**.

$$P_{10}(8) = C_{10}^8 \cdot (0{,}75)^8 \cdot (0{,}25)^2$$

$$= 45 \cdot \frac{6561}{65536} \cdot \frac{1}{16} = \frac{295245}{1048576} \approx \mathbf{0{,}2816}$$

---

---

## Задача (Кинескопы — Интегральная теорема Лапласа)

**Условие:** 12% кинескопов не проработают гарантийный срок. Из **n = 50** наугад выбранных — найти вероятность того, что проработают гарантийный срок:

Дано: n = 50, p(проработает) = 1 − 0,12 = **0,88**, q = 0,12
np = 44, npq = 50 · 0,88 · 0,12 = 5,28, √(npq) ≈ 2,298

---

### а) Ровно 47 кинескопов

Местная теорема:

$$x = \frac{47 - 44}{2{,}298} \approx 1{,}305, \quad \varphi(1{,}305) \approx 0{,}1714$$

$$P_{50}(47) \approx \frac{0{,}1714}{2{,}298} \approx \mathbf{0{,}0745}$$

---

### б) Не менее 47 кинескопов

$$x_1 = \frac{47 - 44}{2{,}298} \approx 1{,}305$$

$$P(k \geq 47) \approx 0{,}5 - \Phi(1{,}305) = 0{,}5 - 0{,}4040 \approx \mathbf{0{,}0960}$$

---

### в) Менее 47 кинескопов

$$P(k < 47) = 1 - P(k \geq 47) \approx 1 - 0{,}0960 = \mathbf{0{,}9040}$$

---

### г) Более 47 кинескопов

$$x = \frac{48 - 44}{2{,}298} \approx 1{,}740$$

$$P(k > 47) = P(k \geq 48) \approx 0{,}5 - \Phi(1{,}74) = 0{,}5 - 0{,}4591 \approx \mathbf{0{,}0409}$$

---

### д) Не более 47 кинескопов

$$P(k \leq 47) = 1 - P(k > 47) \approx 1 - 0{,}0409 = \mathbf{0{,}9591}$$

---

### е) Все 50 кинескопов

$$P_{50}(50) = (0{,}88)^{50} \approx \mathbf{0{,}00167}$$

(Для проверки по местной теореме: x = (50−44)/2,298 ≈ 2,61; φ(2,61) ≈ 0,0136; P ≈ 0,006 — приближение менее точно из-за удалённости от центра)

---

---

## Домашнее задание (Интегральная теорема Лапласа)

---

## Задача 1 (ДЗ — Новорождённые)

**Условие:** Среди **n = 1000** новорождённых. Вероятность рождения мальчика p = 0,51. Найти вероятность того, что мальчиков будет:

np = 510, npq = 1000 · 0,51 · 0,49 = 249,9, √(npq) ≈ 15,81

---

### а) Не менее половины (m ≥ 500)

$$x_1 = \frac{500 - 510}{15{,}81} \approx -0{,}63, \quad x_2 \to +\infty$$

$$P_{1000}(500 \leq m \leq 1000) \approx \Phi(+\infty) - \Phi(-0{,}63) = 0{,}5 - (-0{,}2357) = \mathbf{0{,}7357}$$

---

### б) Менее половины (m < 500, то есть m ≤ 499)

$$P_{1000}(0 \leq m \leq 499) = 1 - 0{,}7357 = \mathbf{0{,}2643}$$

---

## Задача 2 (ДЗ — Картофель при уборке)

**Условие:** При уборке повреждается в среднем 10% клубней. Из **n = 200** клубней найти вероятность того, что повреждено от 15 до 50 клубней.

Дано: n = 200, p = 0,10, q = 0,90
np = 20, npq = 18, √(npq) ≈ 4,243

$$x_1 = \frac{15 - 20}{4{,}243} \approx -1{,}18, \quad x_2 = \frac{50 - 20}{4{,}243} \approx 7{,}07$$

$$P_{200}(15 \leq m \leq 50) \approx \Phi(7{,}07) - \Phi(-1{,}18) \approx 0{,}5 - (-0{,}3810) = 0{,}5 + 0{,}3810 \approx \mathbf{0{,}881}$$