14 KiB
Решения задач по теории вероятностей
Формулы Бернулли, местная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа, формула Пуассона
Задача 3
Условие: В среднем каждое второе малое предприятие имеет нарушение финансовой дисциплины. Из n = 1000 предприятий найти вероятность того, что нарушения имеют:
Дано: n = 1000, p = 1/2 = 0,5, q = 0,5 npq = 1000 · 0,5 · 0,5 = 250, √(npq) = √250 ≈ 15,81
а) Ровно 480 предприятий
Используем местную теорему Муавра–Лапласа:
P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \varphi(x), \quad x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}x = \frac{480 - 500}{15{,}81} = \frac{-20}{15{,}81} \approx -1{,}26φ(1,26) = 0,1826 (по таблице функции Гаусса)
P_{1000}(480) \approx \frac{0{,}1826}{15{,}81} \approx \mathbf{0{,}0116}б) Наивероятнейшее число предприятий
По формуле: np − q ≤ k₀ ≤ np + p
499,5 ≤ k₀ ≤ 500,5 → k₀ = 500
в) Не менее 480 предприятий
Используем интегральную теорему Муавра–Лапласа:
P(k \geq 480) = 0{,}5 + \Phi\!\left(\frac{np - k_1}{\sqrt{npq}}\right)= 0{,}5 + \Phi(1{,}26) = 0{,}5 + 0{,}3962 \approx \mathbf{0{,}8962}г) От 480 до 520 предприятий
x_1 = \frac{480 - 500}{15{,}81} \approx -1{,}26, \quad x_2 = \frac{520 - 500}{15{,}81} \approx 1{,}26P(480 \leq k \leq 520) = \Phi(1{,}26) - \Phi(-1{,}26) = 2\Phi(1{,}26) = 2 \cdot 0{,}3962 \approx \mathbf{0{,}7924}Задача 4
Условие: Вероятность банкротства предприятия за время t равна 0,2. Из n = 6 предприятий найти вероятность того, что сохранятся:
Дано: n = 6, p(сохранится) = 1 − 0,2 = 0,8, q = 0,2
Используем формулу Бернулли: P_n(k) = C(n,k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ
а) Два предприятия (k = 2)
P_6(2) = C_6^2 \cdot (0{,}8)^2 \cdot (0{,}2)^4 = 15 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}0016 = \mathbf{0{,}0154}б) Более двух предприятий (k > 2)
P(k > 2) = 1 - P(k \leq 2) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]- P₆(0) = C(6,0) · (0,8)⁰ · (0,2)⁶ = 1 · 1 · 0,000064 = 0,000064
- P₆(1) = C(6,1) · (0,8)¹ · (0,2)⁵ = 6 · 0,8 · 0,00032 = 0,001536
- P₆(2) = 0,0154 (вычислено выше)
P(k > 2) = 1 - (0{,}000064 + 0{,}001536 + 0{,}0154) \approx 1 - 0{,}0170 = \mathbf{0{,}983}Задача 5
Условие: В банк отправлено n = 4000 пакетов. Вероятность ошибки в комплектации p = 0,0001. Найти вероятность обнаружения:
λ = np = 4000 · 0,0001 = 0,4
Используем формулу Пуассона: P(k) = (λᵏ / k!) · e⁻λ
e⁻⁰·⁴ ≈ 0,6703
а) Три ошибочно укомплектованных пакета (k = 3)
P(3) = \frac{(0{,}4)^3}{3!} \cdot e^{-0{,}4} = \frac{0{,}064}{6} \cdot 0{,}6703 \approx \mathbf{0{,}00715}б) Не более трёх пакетов (k ≤ 3)
P(k \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)- P(0) = e⁻⁰·⁴ = 0,6703
- P(1) = 0,4 · e⁻⁰·⁴ = 0,2681
- P(2) = (0,4²/2) · e⁻⁰·⁴ = 0,0536
- P(3) = 0,00715
P(k \leq 3) = 0{,}6703 + 0{,}2681 + 0{,}0536 + 0{,}00715 \approx \mathbf{0{,}9992}Домашняя работа
Задача 1 (ДЗ)
Условие: Вероятность попадания в цель р = 0,7. Из n = 80 выстрелов — найти вероятность различных исходов.
Дано: n = 80, p = 0,7, q = 0,3 np = 56, npq = 16,8, √(npq) ≈ 4,10
а) Ровно 75 попаданий
x = \frac{75 - 56}{4{,}10} \approx 4{,}63φ(4,63) ≈ 0,00002 (крайне малое значение)
P_{80}(75) \approx \frac{0{,}00002}{4{,}10} \approx \mathbf{0{,}000005} \approx 0б) Не менее 75 попаданий
x_1 = \frac{75 - 56}{4{,}10} \approx 4{,}63P(k \geq 75) = 0{,}5 - \Phi(4{,}63) \approx 0{,}5 - 0{,}5 \approx \mathbf{0}в) Менее 75 попаданий
P(k < 75) = 1 - P(k \geq 75) \approx \mathbf{1}г) Не более 75 попаданий
P(k \leq 75) = P(k < 75) + P(k = 75) \approx 1 + 0 \approx \mathbf{1}д) Более 75 попаданий
P(k > 75) \approx \mathbf{0}е) Все 80 выстрелов
P_{80}(80) = (0{,}7)^{80} = e^{80 \ln 0{,}7} = e^{-28{,}5} \approx \mathbf{4{,}4 \times 10^{-13}}Задача 2 (ДЗ)
Условие: Вероятность выпуска сверла с браком p = 0,02. Сверла укладываются по 100 штук. Найти наименьшее количество добавочных сверл, чтобы с вероятностью не менее 0,9 в коробке было не менее 100 исправных.
Пусть в коробке n сверл, p(исправное) = 0,98. Нужно: P(X ≥ 100) ≥ 0,9
P(X \geq 100) = 0{,}5 + \Phi\!\left(\frac{np - 100}{\sqrt{np \cdot 0{,}02}}\right) \geq 0{,}9\Rightarrow \frac{0{,}98n - 100}{0{,}14\sqrt{n}} \geq 1{,}28Подстановка t = √n: 0,98t² − 0,1792t − 100 ≥ 0
t = \frac{0{,}1792 + \sqrt{0{,}1792^2 + 4 \cdot 0{,}98 \cdot 100}}{2 \cdot 0{,}98} = \frac{0{,}179 + 19{,}80}{1{,}96} \approx 10{,}19n \geq (10{,}19)^2 \approx 103{,}9 \Rightarrow n = 104Ответ: нужно добавить m = 104 − 100 = 4 сверла
Задача 3 (ДЗ)
Условие: Сколько изюминок в среднем должна содержать булочка, чтобы вероятность хотя бы одной изюминки была не менее 0,99?
Используем формулу Пуассона: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − e⁻λ ≥ 0,99
e^{-\lambda} \leq 0{,}01 \Rightarrow \lambda \geq -\ln(0{,}01) = \ln 100 \approx 4{,}61Ответ: в среднем в булочке должно быть не менее 5 изюминок (λ ≥ 4,61)
Задача (Картофель)
Условие: В складе 20% клубней с пятнами. Отобрано n = 9 клубней. p(без пятен) = 0,8, q = 0,2.
а) Наивероятнейшее число клубней без пятен
np − q ≤ k₀ ≤ np + p 9·0,8 − 0,2 ≤ k₀ ≤ 9·0,8 + 0,8 7,0 ≤ k₀ ≤ 8,0
Так как оба конца — целые числа, оба значения k₀ = 7 и k₀ = 8 являются наивероятнейшими (с одинаковой вероятностью).
б) Вероятность наивероятнейшего числа
P_9(7) = C_9^7 \cdot (0{,}8)^7 \cdot (0{,}2)^2 = 36 \cdot 0{,}2097 \cdot 0{,}04 \approx \mathbf{0{,}302}P_9(8) = C_9^8 \cdot (0{,}8)^8 \cdot (0{,}2)^1 = 9 \cdot 0{,}1678 \cdot 0{,}2 \approx \mathbf{0{,}302}P(7) = P(8) ≈ 0,302 — подтверждает, что оба значения равновероятны
Задача (Событие А, k₀ = 20)
Условие: Вероятность события А в каждом испытании p = 0,7. Сколько испытаний нужно провести, чтобы наивероятнейшее число равнялось 20?
np − q ≤ k₀ ≤ np + p, то есть при k₀ = 20:
0{,}7n - 0{,}3 \leq 20 \leq 0{,}7n + 0{,}7Из левого неравенства: 0,7n ≤ 20,3 → n ≤ 29
Из правого неравенства: 0,7n ≥ 19,3 → n ≥ 27,57 → n ≥ 28
Проверка:
- n = 28: np−q = 19,3, np+p = 20,3 → единственное целое k₀ = 20 ✓
- n = 29: np−q = 20,0, np+p = 21,0 → k₀ = 20 или 21 (два наивероятнейших)
Ответ: n = 28 (или n = 29, если допустимо два наивероятнейших значения)
Задача 1 (Лотерея)
Условие: Вероятность выигрыша по одному билету p = 1/7. Имея n = 7 билетов, найти вероятность выигрыша:
Используем формулу Бернулли
а) По двум билетам (k = 2)
P_7(2) = C_7^2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^5 = 21 \cdot \frac{1}{49} \cdot \frac{7776}{16807} = \frac{163296}{823543} \approx \mathbf{0{,}198}б) По трём билетам (k = 3)
P_7(3) = C_7^3 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^3 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^4 = 35 \cdot \frac{1}{343} \cdot \frac{1296}{2401} = \frac{45360}{823543} \approx \mathbf{0{,}055}Задача 2 (Мята, гербициды)
Условие: Повреждены гербицидами 15% растений мяты. Отобрано n = 20 растений. p = 0,15, q = 0,85.
np − q ≤ k₀ ≤ np + p 3 − 0,85 ≤ k₀ ≤ 3 + 0,15 2,15 ≤ k₀ ≤ 3,15
k₀ = 3 — наивероятнейшее число повреждённых растений
Задача 3 (Сбербанк)
Условие: Два филиала. Филиал 1: n₁ = 120, p₁ = 0,94. Филиал 2: n₂ = 140, p₂ = 0,8. Найти наивероятнейшее число клиентов, снявших деньги.
Филиал 1: np₁ = 112,8; np₁ − q₁ = 112,74; np₁ + p₁ = 113,74 → k₀₁ = 113
Филиал 2: np₂ = 112,0; np₂ − q₂ = 111,8; np₂ + p₂ = 112,8 → k₀₂ = 112
Ответ: Первый филиал обслуживает больше клиентов, снявших деньги: 113 > 112
Задача (Событие А, 400 испытаний)
Условие: Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если p = 0,2.
Дано: n = 400, k = 80, p = 0,2, q = 0,8 np = 80, npq = 64, √(npq) = 8
x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{80 - 80}{8} = 0\varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989P_{400}(80) \approx \frac{\varphi(0)}{\sqrt{npq}} = \frac{0{,}3989}{8} \approx \mathbf{0{,}0499}Задача (Стрелок)
Условие: Вероятность поражения мишени p = 0,75. При n = 10 выстрелах найти вероятность ровно 8 попаданий.
P_{10}(8) = C_{10}^8 \cdot (0{,}75)^8 \cdot (0{,}25)^2= 45 \cdot \frac{6561}{65536} \cdot \frac{1}{16} = \frac{295245}{1048576} \approx \mathbf{0{,}2816}Задача (Кинескопы — Интегральная теорема Лапласа)
Условие: 12% кинескопов не проработают гарантийный срок. Из n = 50 наугад выбранных — найти вероятность того, что проработают гарантийный срок:
Дано: n = 50, p(проработает) = 1 − 0,12 = 0,88, q = 0,12 np = 44, npq = 50 · 0,88 · 0,12 = 5,28, √(npq) ≈ 2,298
а) Ровно 47 кинескопов
Местная теорема:
x = \frac{47 - 44}{2{,}298} \approx 1{,}305, \quad \varphi(1{,}305) \approx 0{,}1714P_{50}(47) \approx \frac{0{,}1714}{2{,}298} \approx \mathbf{0{,}0745}б) Не менее 47 кинескопов
x_1 = \frac{47 - 44}{2{,}298} \approx 1{,}305P(k \geq 47) \approx 0{,}5 - \Phi(1{,}305) = 0{,}5 - 0{,}4040 \approx \mathbf{0{,}0960}в) Менее 47 кинескопов
P(k < 47) = 1 - P(k \geq 47) \approx 1 - 0{,}0960 = \mathbf{0{,}9040}г) Более 47 кинескопов
x = \frac{48 - 44}{2{,}298} \approx 1{,}740P(k > 47) = P(k \geq 48) \approx 0{,}5 - \Phi(1{,}74) = 0{,}5 - 0{,}4591 \approx \mathbf{0{,}0409}д) Не более 47 кинескопов
P(k \leq 47) = 1 - P(k > 47) \approx 1 - 0{,}0409 = \mathbf{0{,}9591}е) Все 50 кинескопов
P_{50}(50) = (0{,}88)^{50} \approx \mathbf{0{,}00167}(Для проверки по местной теореме: x = (50−44)/2,298 ≈ 2,61; φ(2,61) ≈ 0,0136; P ≈ 0,006 — приближение менее точно из-за удалённости от центра)
Домашнее задание (Интегральная теорема Лапласа)
Задача 1 (ДЗ — Новорождённые)
Условие: Среди n = 1000 новорождённых. Вероятность рождения мальчика p = 0,51. Найти вероятность того, что мальчиков будет:
np = 510, npq = 1000 · 0,51 · 0,49 = 249,9, √(npq) ≈ 15,81
а) Не менее половины (m ≥ 500)
x_1 = \frac{500 - 510}{15{,}81} \approx -0{,}63, \quad x_2 \to +\inftyP_{1000}(500 \leq m \leq 1000) \approx \Phi(+\infty) - \Phi(-0{,}63) = 0{,}5 - (-0{,}2357) = \mathbf{0{,}7357}б) Менее половины (m < 500, то есть m ≤ 499)
P_{1000}(0 \leq m \leq 499) = 1 - 0{,}7357 = \mathbf{0{,}2643}Задача 2 (ДЗ — Картофель при уборке)
Условие: При уборке повреждается в среднем 10% клубней. Из n = 200 клубней найти вероятность того, что повреждено от 15 до 50 клубней.
Дано: n = 200, p = 0,10, q = 0,90 np = 20, npq = 18, √(npq) ≈ 4,243
x_1 = \frac{15 - 20}{4{,}243} \approx -1{,}18, \quad x_2 = \frac{50 - 20}{4{,}243} \approx 7{,}07P_{200}(15 \leq m \leq 50) \approx \Phi(7{,}07) - \Phi(-1{,}18) \approx 0{,}5 - (-0{,}3810) = 0{,}5 + 0{,}3810 \approx \mathbf{0{,}881}